Rudi Mathematici è una e-zine dedicata alla divulgazione della matematica.
Gli autori Rodolfo Clerico (Rudy D'Alembert), Piero Fabbri (Piotr Rezierovic Silverbrahms) e Francesca Ortenzio (Alice Riddle) sono responsabili anche della rubrica Rudi Matematici di Le Scienze, rivista mensile di divulgazione scientifica.
Di seguito, uno dei giochi pubblicati nella rubrica.
Gli autori Rodolfo Clerico (Rudy D'Alembert), Piero Fabbri (Piotr Rezierovic Silverbrahms) e Francesca Ortenzio (Alice Riddle) sono responsabili anche della rubrica Rudi Matematici di Le Scienze, rivista mensile di divulgazione scientifica.
Di seguito, uno dei giochi pubblicati nella rubrica.
Quick & Dirty - Mossa di Cavallo
Su una scacchiera NxN sono posizionati N(alla seconda) cavalli; questi cavalli vengono "alzati" contemporaneamente e ognuno di esso atterra sulla scacchiera dopo una mossa regolare di cavallo. Per quali valori di N la cosa è possibile?
Penso n>3 ma sono tentato anche dal dire che n deve essere pari, ma quest'ultimo non credo sia esatto -Alessandro
RispondiEliminaPure io pensavo come alessandro N>3 e pari, ma non sono sicuro
RispondiEliminaBeh, per N=1 o N=2, i cavalli non si muovono proprio.
RispondiEliminaSe si parte dalla condizione che N deve essere pari, anche N=3 è escluso...
Quindi direi che le risposte ipotizzate posso riassumersi in due aspetti da verificare:
1) Dimostrare che N deve essere pari (o, che è la stessa cosa, ma forse più intuitiva per la dimostrazione, che N non può essere dispari)
2) Dimostrare che se N è pari (e maggiore di 2, ovviamente) la soluzione è sempre possibile.
Per cominciare, direi che potrebbe bastare una dimostrazione rigorosa (fattibile anche solo a parole, senza calcoli nè formule) del primo punto. E direi che questa parte è alla portata sia di Matteo che di Alessandro. Provateci...
Dai tentativi che ho fatto con una scacchiera oserei dire n=4k con k numero intero positivo, ossia tutti i multipli di 4 positivi
RispondiEliminaAllora in una scacchiera dove n=4k ogni cavallo può scambiarsi di "posto" con un altro cavallo, possibilmente in modo ordinato, in modo che tutti i cavalli in modo "alterno" possano scambiarsi (non sono bravo con le parole), per dimostrare che n può essere dispari bisognerebbe tentare su una scacchiera 5x5 di partire con un cavallo in una casella a scelta e muoversi su tutte e 25 le caselle finendo in quella iniziale, se ciò è possibile allora n può essere anche dispari, ma sicuramente c'è un modo per dimostrare che non è possibile fare questo. Inoltre bisognerebbe dimostrare anche che n esiste per 2k e non solo per 4k, si potrebbe utilizzare lo stesso metodo, ma non so...grazie per i consigli comunque! -Alessandro
RispondiEliminaCome dicevamo, un passo alla volta.
RispondiEliminaPrimo passo:
Concentriamoci sull'ipotesi che N non può essere dispari, e tentiamo di dimostrarla.
I tentativi di Maurizio sono metodici: e usare il metodo "esaustivo" è un approccio che a volte porta alla soluzione, altre volte è troppo lungo (anche dimostrando che su una 5x5 è impossibile, non ci direbbe nulla su una scacchiera 212343217x212343217, tanto per fare un esempio).
Il bello della dimostrazione generale è che essa vale sia per la 5x5, sia per la 212343217x212343217; ancora più bello è che per arrivarci non bisogna fare calcoli, e neppure provare tutte le mosse di cavallo possibili su una scacchiera. E, bellezza delle bellezze, che per arrivarci è importante tenere presente più una caratteristica "scacchistica" della mossa del cavallo che le sue proprietà matematiche. Oltre a ciò, bisogna solo ricordare una proprietà aritmetica facile facile, da scuola elementare.
Sui casi con N pari.
E' acuta l'osservazione di Leonardo e Alessandro che per N=4k la soluzione è possibile. Questo discende facilmente dal fatto che qualcuno ha già dimostrato che in una semplice scacchiera 4x4 il problema ha soluzione. Una generica scacchiera NxN con N=4k possiamo sempre immaginarla come un collage di k scacchiere 4x4, ognuna delle quali risolubile. Quindi dice bene Alessandro, che dimostrare il teorema per N=4k non basta. Oltre a N=4 (che possiamo scrivere come 2(2k)), bisogna dimostrare che valga anche per N=2(2k+1).
Grazie a un consiglio di maurizio ho capito perché n non può essere dispari, infatti se prendiamo un cavallo lo mettiamo in una casa disponbile il colore di quest'ultima sarà opposto rispetto a quello di partenza, il cavallo che era nella casella dove sono arrivato con il primo cavallo dovrà mettersi in una casa dello stesso colore della prima, quindi possiamo immaginarci due cose: 1-i due cavalli si scambiano di posto 2-il secondo cavallo va in un altra casa. Il primo caso non possiamo applicarlo su una scacchiera con n diverso da 4k, perché non è possibile in altri casi, nel secondo caso dobbiamo continuare la strada cavallo per cavallo, ma se ci pensiamo possiamo immaginarci il tutto come un unico cavallo che deve occupare ogni casa della scacchiera per poi tornare nella casa di partenza, ed è quì che si trova la soluzione, perché, ricordandoci che il cavallo si muove alternativamente su caselle nere e bianche, possiamo fare finta che si muova sulla scacchiera casella per casella (caso n=2k-1), per intenderci in una scacchiera 3x3 immaginiamoci un movimento del tipo A3(nero)->A2(bianco)->A1(nero)->B1(bianco)->B2(nero)->B3(bianco)->C1(nero)->C2(bianco)->C3(nero)->A3(nero????) perciò non è possibile fare un numero dispari di salti su un numero dispari di caselle, il numero di caselle è sempre (nel caso analizzato) un quadrato dispari, perciò la radice sarà dispari, e non potendo essere questo possibile n non può essere dispari
RispondiElimina(se ci sono incomprensioni posso provare a spiegarmi meglio)
-Alessandro
Esatto, Alessandro. Quella che io chiamavo "ragione scacchistica" è proprio il fatto che un cavallo parte dalla casella di un colore e arriva sempre in una casella di colore diverso. Questo quasi basta da solo: infatti, in una casella NxN con N dispari, il totale delle caselle sulla scacchiera sarà sempre per forza dispari. Questo significa che avremo, nella situazione di partenza, un numero diverso di cavalli su caselle bianche rispetto ai cavalli su caselle nere, e muovendosi non potranno mai finire tutti su caselle del colore giusto. Esempio numerico: scacchiera 3x3, 9 caselle in totale, diciamo 5 nere e 4 bianche. I cinque cavalli che inizialmente saranno sulle 5 caselle nere non potranno mai "atterrare" tutti, perché gli servirebbero 5 caselle bianche d'arrivo, che la scacchiera non ha, perchè ne ha solo 4.
RispondiEliminaEra più facile di quanto pensassi all'inizio!
RispondiElimina-Alessandro